高等数学的起篇都是从函数讲起，而函数主要还是复习内容，真正的开篇是极限，它前接函数，后连导数，因此如何引入极限的定义尤为重要。而学生由于长期学习的初等数学是常量、静态的数学，而极限的思想刚好体现从“不变”到“变”的过程，从“有限”到“无限”，所以我们在实践过程中要按照我们学生的实际情况安排教学，慢慢的帮助我们的学生一层一层的揭开极限的神秘面纱。

本学期笔者带的班级学生来自全国各地，学生的数学基础还是不错，所以我尝试着用严格的数学定义来讲授极限的定义而不是用以前一直用的形象的描述型定义。本文我将和大家分享数列极限的引入的心得体会，以及在以后教学中的注意点。

1 引入

为了体现极限的思想，教材在这一块都是通过例子进行引入，进而把学生从有限带入到无限中去。

例 刘微割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”。

用内接正多边形去割圆，随着正多变形的边数增大，误差将会愈来愈小，正多边行的面积就越来越接近圆的面积。那么多少边形面积会等于圆的面积呢？

2 通过图形引导，给出直观定义

如图1所示，随着内接多边形的边数增大，内接多边形的面积和圆的面积误差会越来越越小，随着边数的无限逼近于正无穷大，内接多边形的面积无限逼近于圆的面积，那么如何来严格的刻画无限逼近呢？这个就是严格定义要考虑的问题。

图1 引导图

3 数列极限的描述定义

对于数列，如果当n无限增大时，xn趋向于常数A，则称当n趋于无穷大时，数列以A为极限，记作或。

这个是绝大多数专科高数教材上的极限的最终定义，很显然学生会问，什么叫当n无限增大时xn趋向于常数A，这个定义说明不了这个问题。很多学生学完了微积分基本的运算都会，可是他并不了解高等数学和初等数学的区别在那里，很大的原因就是这里的极限没有完全理解和领会，究其原因还是因为定义引入问题，给了一个模糊不清的定义来讲解一个严格的数学问题未免有点不切实际。

4 进一步分析

当n无限增大时xn趋向于常数A，等价于当n无限增大时xn与常数A的距离无限趋向于常数0，进一步分析当n无限增大，可以任意的小，要多小有多小。可以小于事先给定任意小的正数ε，只要n增大到足够大的程度。

5 分析经典

数列当n无限增大时的变化趋势。

分析：当给定的时，

若只要，则，只要n增加n＞1000到超过1000以后就可以达到上面的要求。

当给定的时，若

只要，则，只要n增加n＞1000到超过以后就可以达到上面的要求。

6 数列极限的严格定义

对于数列，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n＞N，不等式恒成立，则称常数A是数列的极限，记作或

严格的数学语言表示如下,当n＞N时，有

其中：ε刻画xn与A的接近程度，且任意小，

N表示n增大到的一个程度，且N不唯一。

7 例题解析

证明

证明：

∴对?ε＞0,取N=,则当n＞N时，总有

所以成立。

8 结语

多年的实践给我的感觉就是教材在这一块的处理过于简洁和单薄，很多学生学会了很多的计算技巧，但还是不能领会这样的极限的内涵，不懂高数和初数的区别，所以我在实践使用严格定义给同学们讲解极限，力求让学生理解，只要学生们能够知道极限的内涵，我们多花点时间也是值得和可以接受的。

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[2] 曹荣荣.关于极限证明的教学反思[J].高等数学研究，2012(11).

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